• 1. Понятие алгебры. Типы алгебр.
• 2. Гиперкомплексные числа: кватернионы, октавы.
• 3. Криволинейные системы координат. Ковариантное и контравариантное представление.
• 4. Преобразование систем координат. Символы Кристоффеля.
• 5. Группы преобразований.
• 6. Понятие ковариантной производной вектора и ее преобразование при смене системы координат.
• 7. Алгебра геометрических объектов. Понятие тензора.
• 8. Свойства тензора, тензорные операции.
• 9. Ковариантная производная тензора и дифференциал. Матричная запись.
• 10. Математический аппарат специальной теории относительности (СТО) и общей теории относительности (ОТО).

• 1. Общее определение симметрии. Операции и взаимодействия элементов симметрии.
• 2. Представление операций симметрии.
• 3. Точечные группы симметрии. Семейства точечных групп.
• 4. Изоморфизм и соподчинение точечных групп.
• 5. Классы сопряженных элементов. Неприводимые представления и характеры представлений.
• 6. Одномерные и двухмерные группы симметрии.
• 7. Пространственные группы симметрии. Группы трансляций.
• 8. Типы решеток Браве. Точечные группы, сингонии. Вывод и графическое представление пространственных групп симметрии.
• 9. Группы антисимметрии. Вывод одномерных, двухмерных и пространственных групп антисимметрии.
• 10. Вывод цветных решеток Браве. Группы многоцветной симметрии.

• 1. Релятивизм и причинность. Пространство Минковского. 4-векторы и тензоры. Ковариантная формулировка электродинамики.
• 2. Группа Лоренца и группа Пуанкаре. Генераторы и алгебры. Представления этих групп. Генераторы в виде дифференциальных операторов.
• 3. Скалярные, спинорные и векторные поля и группа Лоренца. Трансформационные свойства полей по отношению к группе Пуанкаре.
• 4. Функционал действия. Общие свойства и требования. Уравнение движения поля.
• 5. Теорема Нётер. Дифференциальные и интегральные законы сохранения.
• 6. Пространственные симметрии. Интегралы движения скалярного и векторного полей. Внутренние симметрии. Изотопический спин как интеграл движения.
• 7. Действие для скалярного поля. Теория свободного скалярного поля. Общее решение в виде разложения по амплитудам.
• 8. Теория комплексного поля. Заряд как интеграл движения. Теория с изотопическим пионным триплетом.
• 9. Построение действия для спинорных полей. Теория спинорного поля.
• 10. Теория векторного поля. Калибровочная инвариантность. Калибровки Лоренца и Кулона. Векторы поляризации.
• 11. Построение калибровочной теория спинорного поля. Лагранжиан КЭД.
• 12. Калибровочные теории с неабелевыми группами симметрий. Построение общей теории полей Янга-Миллса.
• 13. Преобразования суперсимметрии. Модель Весса-Зумино.
• 14. Топологические солитоны: историческое введение. Топологические интегралы движения.
• 15. Основы топологии: отображения, гомотопические группы, накрытия.
• 16. Кинк теории φ⁴.
• 17. Решения теории синус-Гордона.
• 18. Нелинейная O(3)-модель изотропного ферромагнетика.
• 19. Вихревые решения в некалибровочных и калибровочных теориях.
• 20. Спонтанное нарушение симметрии.
• 21. Самодуальные поля Янга-Миллса и инстантоны.

Часть 1.

• 1. От релятивистской квантовой механики к рождению квантовой теории поля: историческое введение.
• 2. Квантование свободного скалярного поля. Операторы рождения и уничтожения. Представление чисел заполнения. Статистика Бозе-Эйнштейна. Канонические перестановочные соотношения.
• 3. Пропагатор скалярного поля. Принцип причинности.
• 4. Комплексное скалярное поле. Оператор заряда. Нормальное упорядочение операторов.
• 5. Квантование поля Дирака. Статистика Ферми-Дирака. Пропагатор поля Дирака.
• 6. Дискретные симметрии в теории Дирака: C, P и T преобразования.
• 7. Квантование электромагнитного поля. Особенности квантования в лоренцевой калибровке. Квантование в кулоновской калибровке. Пропагаторы. Квантование массивного векторного поля.
• 8. Взаимодействующие поля. Представление взаимодействия. Хронологичское упорядочение операторов.
• 9. Теорема Вика. Диаграммы Фейнмана.
• 10. Постановка задачи рассеяния. Сечение рассеяния. S-матрица.
• 11. Вычисление элементов S-матрицы с помощью диаграмм Фейнмана. Правила Фейнмана.
• 12. Вычисление сечения рассеяния для процесса e⁺ e^- → μ⁺ μ^-. Кроссинг-симметрия и процесс e^- μ^- → e^- μ^-. Комптоновское рассеяние e^- γ → e^- γ.

Часть 2.

• 13. Радиационные поправки в КЭД. Электрон-фотонная вершина. Инфракрасная и ультрафиолетовая расходимости. Перенормировка напряжённости поля. Собственная энергия электрона.
• 14. Тождество Уорда-Такахаши.
• 15. Поляризации вакуума в КЭД. Перенормировка электрического заряда.
• 16. Методы регуляризации. Регуляризация Паули-Вилларса. Размерная регуляризация.
• 17. Функциональные методы в квантовой теории поля. Производящий функционал. Корреляционные функции и правила Фейнмана для скалярного поля.
• 18. Функциональное квантование электромагнитного поля.
• 19. Функциональное квантование спинорных полей.
• 20. Симметрии в функциональном формализме.
• 21. Введение в теорию перенормировок. Перенормируемая теория возмущений.
• 22. Однопетлевая структура теории φ⁴. Перенормировка в высших порядках.
• 23. Перенормировка КЭД.
• 24. Ренормализационная группа. Ренормгруппа в КЭД. Асимптотическая свобода.

• 1. Определяющее (фундаментальное) и тензорные представления SU(n). Дуальность Шура-Вейля. Диаграммы Юнга.
• 2. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты.
• 3. Алгебра Ли для группы Пуанкаре.
• 4. Группа SL(2,C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца.
• 5. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.
• 6. D-мерная алгебра Клиффорда Cl(D,0) и ее представления.
• 7. Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(1,D?1) и ее представления.
• 8. Группы Spin(1,D?1).
• 9. Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии.
• 10. Индуцированные представления. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре.
• 11. Малая группа Вигнера.
• 12. Унитарные представления группы Пуанкаре. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.

• 1. Определение континуального интеграла. Уравнение Ланжевена. Мера Винера.
• 2. Континуальный интеграл для квантовой механики. Поворот Вика. Вывод формулы Фейнмана-Каца.
• 3. Аналитические методы исследования континуальных интегралов. Гауссовые интегралы. Теорема Вика. Теория возмущений.
• 4. Аналитические методы исследования континуальных интегралов. Метод перевала. Квазиклассическое приближение.
• 5. Статистическая сумма квантовой системы. Статистическая сумма гармонического осциллятора в формализме континуального интеграла.
• 6. Квантование в окрестности классического решения. Проблема нулевых мод. Регуляризация нулевых мод. Метод коллективных координат (явный).
• 7. Неявный метод регуляризации нулевых мод Криста-Ли. Регуляризация трансляционной нулевой моды.
• 8. Континуальный интеграл для модели \phi^4 . Инстантоны и модель инстантонного газа.
• 9.Численные методы исследования континуальных интегралов. Общие представления о методе Монте-Карло.
• 10. Метод существенной выборки. Равновесные статистические конфигурации. Условие детального баланса.
• 11. Алгоритмы генерации одномерных случайных величин с заданной плотностью. Метод фон Неймана. Гибридный метод.
• 12. Алгоритм тепловой бани для генерации равновесных конфигураций. Алгоритм Метрополиса.
• 13. Особенности применения алгоритмов метода Монте-Карло к исследованию квантово-механических систем. Проблема автокорреляций. Многоуровневый алгоритм Д. Цеперли.
• 14. Наблюдаемые в формализме континуального интеграла. Энергия и вычитание фрактальной сингулярности. Давление.